Математика/ Э/ 1 курс /О / Черниченко

Тематический план

• 

  Общее

  • Дисциплину ведет Черниченко Ангелина Виталиевна,

    кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры СЖД, КрИЖТ ИрГУПС

               

    В результате обучения по дисциплине Математика, студент должен освоить компетенции:

    УК-1 Способность осуществлять поиск, критически анализировать и синтезировать информацию, применять системный подход для решения поставленных задач

    УК-1.1 Анализировать проблемную ситуацию (задачу) и выделять ее базовые составляющие. Формулировать математическую постановку задачи. Рассматривать различные варианты решения проблемной ситуации (задачи), разрабатывать алгоритмы их реализации

    Общая трудоемкость в з.е. – 13 Часов по учебному плану (УП) – 468

    Формы промежуточной аттестации в семестрах/курсах очная форма обучения: экзамен 1, 2, 3 семестр очно-заочная форма обучения: экзамен 1, 2, 3 семестр

  • Рабочая программа Папка
  • Тестирование 1 семестр Файл
• 

  1 семестр. Раздел 1. Матрицы и определители

  1.1	Матрицы. Операции над матрицами, их свойства. Определители, вычисление определителей 2-го и 3-го порядка. Свойства определителей.
  1.2	Понятие минора и алгебраического дополнения элемента квадратной матрицы. Вычисление определителя n-го порядка.  Обратная матрица. Свойства обратной матрицы
  1.3	Ранг матрицы. Эквивалентные преобразования матриц. Два способа определения ранга.  Базисный минор. Линейная зависимость строк (столбцов) матрицы.
• 

  Раздел 2. Системы линейных алгебраических уравненй

  2.1	Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Матричная запись системы.  Условие совместности системы (теорема Кронекера – Капелли). Решение  систем уравнений  матричным методом и по формулам Крамера.
  2.2	Исследование и решение неоднородных систем линейных  алгебраических уравнений методом Гаусса.  Базисные решения. Системы линейных алгебраических уравнений в экономике
  2.3	Системы линейных однородных  алгебраических уравнений. Совместность однородных систем. Фундаментальная система решений.
  2.4	Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ), основные понятия, определения. Продуктивные модели Леонтьева. Модель равновесных цен.
• 

  Раздел 3. Векторы. Векторные пространства

  3.1	Геометрические векторы, основные определения. Линейные операции над векторами в геометрической форме и координатной формах. Направляющие косинусы вектора. Умножение векторов. Вычисление произведений векторов в координатной форме.
  3.2	Понятие n-мерного  арифметического вектора. Операции над векторами. Линейное пространство. Размерность, базис,  разложение по базису, матрица перехода.
  3.3	Евклидово пространство. Ортогональный и ортонормированный базис. Экономический пример на ортогональность векторов.
• 

  Раздел 4. Линейные операторы. Квадратичные формы

  4.1	Понятие линейного оператора.  Матрица линейного оператора. Действия над линейными операторами. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Линейная модель обмена (модель международной торговли). Собственные векторы неотрицательных матриц (теорема Фробениуса-Перрона; число и вектор Фробениуса, их свойства; продуктивность неотрицательных матриц).
  4.2	Квадратичные формы (определение, матричная форма записи, канонический вид, закон инерции квадратичных форм, положительно и отрицательно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра).
• 

  Раздел 5. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

  5.1	Прямоугольная система координат  на плоскости (простейшие задачи). Полярные координаты. Уравнение прямой на плоскости (различные виды уравнения прямой, расстояние от точки до прямой, угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых).
  5.2	Применение аналитической геометрии в экономике. Геометрический смысл системы линейных неравенств.
  5.3	Плоскость в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное положение плоскостей.  Прямая в пространстве. Взаимное положение прямых, прямой и плоскости и в пространстве.
  5.4	Кривые второго порядка: эллипс, окружность, гипербола, парабола (обзор).
• 

  Раздел 6. Комплексные числа

  6.1	Комплексные числа (определение, частные случаи, понятие равенства, действия над комплексными числами в алгебраической форме, геометрическая интерпретация, модуль и аргумент комплексного числа).
  6.2	Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа, возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа. Решение квадратных и биквадратных уравнений
• 

  Экзамен/ Подготовка к экзамену
• 

  2 семестр. Раздел 7. Введение в математический анализ. Элементы теории функций одной переменной

  7.1	Понятие множества. Числовые множества. Элементы алгебры множеств.. Понятие функции одной переменной, область определения и область значений функции. Способы задания функции. Основные свойства функций.  Обратная функция. Понятие элементарной функции. Неявные, сложные функции.
  7.2	Предел функции,  односторонние пределы, свойства пределов. Бесконечно малые и бесконечно большие функции (определение, свойства,  связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями, сравнение  бесконечно функций).
  7.3	Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Свойства непрерывных функций.  Непрерывность  функций на отрезке, свойства.

                 

  • Лекции и практика Папка
• Текущая тема
  

  Раздел 8. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

  8.1	Определение производной. Геометрический и механический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Расчет производительности труда в заданный момент времени. Зависимость между непрерывностью функции и дифференцируемостью. Основные правила и формулы дифференцирования. Производная сложной функции, обратной функции. Производные высших порядков.
  8.2	Определение дифференциала функции, его свойства.  Экономический смысл производной (применение производных в экономическом анализе). Эластичность функции, ее свойства.
  8.3	Исследование функций и построение их графиков .Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

  

  • Лекции и практика Папка
• 

  Раздел 9. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

  9.1	Функция нескольких переменных. Функции двух переменных: определение функции, понятие области определения, множества значений, графическое представление. Понятие линии и поверхности уровня.
  9.2	Определение частной производной функции нескольких переменных. Дифференцирование неявно заданных функций.  Частные производные высших порядков. Производная по направлению. Градиент, его свойства.
  9.3	Экстремум функции нескольких переменных (определение точки локального максимума и минимума функции; необходимые и достаточные условия.)  Условный экстремум функции двух переменных, метод множителей Лагранжа

  

  • Лекции и практика Папка
• 

  Раздел 10. Интегральное исчисление.

  10.1	Понятие первообразной функции. Определение неопределенного интеграла, его свойства, геометрический смысл. Табличные интегралы. Основные методыинтегрирования (непосредственное интегрирование, метод замены переменной или метод подстановки, метод интегрирования по частям). Интегрирование рациональных дробей.
  10.2	Понятие интегральной суммы. Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл. Достаточное условие существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.
  10.3	Несобственные интегралы первого и второго рода (несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования, несобственные интегралы от неограниченных функций).
  10.4	Геометрические приложения определенного интеграла (вычисление площадей плоских фигур). Экономические приложения определенного интеграла.

     

  • Лекции и практика Папка
• 

  Раздел 11. Дифференциальные уравнения и системы

  11.1	Понятие дифференциального уравнения, порядка дифференциального уравнения, решения уравнения, понятие общего и частного решения,  интегральной кривой, задача Коши. Понятие дифференциального уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения. Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися  переменными. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, уравнения Бернулли.
  11.2	Дифференциальные уравнения высших порядков Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение, фундаментальная система решений однородного уравнения, определитель Вронского, теорема об общем решении линейного однородного уравнения.
  11.3	Системы линейных  дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения в экономической динамике.

     

  • Лекции и практика Папка
• 

  Экзамен/Подготовка к экзамену

  • Итоговый тест. 2 семестр
• 

  3 семестр. Раздел 12. Случайные события

  12.1	Основные подходы к определению вероятности. Классическое определение вероятности. Комбинаторика. Геометрическое определение вероятности. Алгебра событий. Вероятность суммы событий. Зависимость событий. Условные вероятности.
  12.2	Вероятность произведения событий. Формула полной вероятности и формулы Байеса.
• 

  Раздел 13. Случайные величины, их числовые характеристики и законы распределения

  13.1	Разновидности случайных величин. Распределение вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальный закон распределения, формула Бернулли. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Функция распределения.
  13.2	Непрерывные случайные величины, плотность вероятности, вероятность попадания в интервал. Равномерное распределение. Показательное распределение, функция надёжности..
  13.3	Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Свойства числовых характеристик. Начальные и центральные моменты. Числовые характеристики различных распределений: биномиального, пуассоновского, равномерного, показательного.
  13.4	Нормальное распределение. Функция Лапласа. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал. Правило трёх сигма.
• 

  Раздел 14. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

  14.1	Введение в предельные теоремы теории вероятностей: поведение среднего арифметического. Относительная частота события. Понятие о теореме Бернулли и законе больших чисел. Понятие о центральной предельной теореме. Локальная и интегральная формулы Лапласа.
• 

  Раздел 15. Системы случайных величин

  15.1	Системы дискретных случайных величин. Закон распределения системы и условные законы распределения. Условные математические ожидания и функции регрессии.
  15.2	Корреляционный момент, коэффициент корреляции системы. Понятие о системах непрерывных случайных величин.
• 

  Раздел 16. Марковские случайные процессы

  16.1	Понятие о случайной функции и случайном процессе. Марковский процесс с дискретными состояниями и дискретным временем. Распределение вероятностей по состояниям. Стационарное распределение вероятностей состояний. Условие случайного эргодического процесса. Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем. Матрица интенсивностей переходов.
  16.2	Системы уравнений Колмогорова. Предельный стационарный режим, эргодический процесс. Процесс гибели и размножения.
  16.3	Простейшие системы массового обслуживания. Применение схемы процесса гибели и размножения к решению задач СМО. Использование биномиальных формул в задаче о замкнутой СМО без отказов и ожидания. Одноканальная СМО с неограниченной очередью.
• 

  Раздел 17. Математическая статистика

  17.1	Выборка. Статистическое распределение.
  17.2	Точечные статистические оценки. Интервальная оценка, её точность и надёжность. Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения (большая и малая выборки).
  17.3	Понятие статистической гипотезы. Гипотезы о генеральной средней нормального распределения, о равенстве двух генеральных средних. Эмпирические и теоретические частоты, гипотеза о виде распределения, критерий согласия  Пирсона.
  17.4	Корреляционно-регрессионный анализ данных. Метод наименьших квадратов. Уравнения регрессии.
• 

  Экзамен/Подготовка к экзамену